lunes, 29 de septiembre de 2008

ESPERANZA MATEMATICA

La Esperanza Matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la
media aritmética.

Definición:
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la
función de masa p(xi).

Sea F(x) una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=Xi). Entonces al valor esperado o esperanza matemática de F(x) está definida por:
E {F(X)} = S F(X) P(X=Xi)

COMENTARIO PERSONAL:

La Esperanza Matemática mide la frecuencia o calcula el promedio de los resultados de dichos experimentos.
La Esperanza Matemática también permite comparar dos o más alternativas.

ARBOL DE PROBABILIDAD

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:

1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico

PROBABILIDAD

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

TRIANGULO DE PASCAL


El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras líneas están representadas en la tabla adjunta.
En países no occidentales como
China o India, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en
álgebra.




TEORIA DE CONTEO

PERMUTACIONES:

Dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:
Como noción fundamental de
combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
En
teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

Definición alternativa:
La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.
Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una
biyección de X en sí mismo.
Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

En combinatoria:
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre como deben ser las combinaciones y determinar cuantas combinaciones existen que cumplan dicha regla.
Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas diferentes que pueden construirse a partir de dicho conjunto.


COMBINACIONES:

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

domingo, 28 de septiembre de 2008

PARTICION DE CONJUNTOS

En matemáticas, la partición de un conjunto es la división en subconjuntos que no se superponen.

Un conjunto A de enteros positivos se le llama un conjunto Bh módulo m, si todas
las sumas de h elementos de A, no necesariamente distintos, son incongruentes mod m.
Demostramos que cuando m es de la forma qn − 1, para q potencia de un primo, los
logaritmos discretos de las raíces de polinomios de Artin-Schreier en el campo finito con
qn elementos forman un conjunto Bh módulo m, siendo h un divisor de n. Este resultado
generaliza un teorema clásico en construcción de conjuntos Bh. Además, demostramos que
hay particiones de Zqn en conjuntos Bh, donde h recorre los divisores de n.

PARTICION DE CONJUNTOS

CONJUNTO FAMILIA

En matemáticas, una familia de conjuntos de un conjunto universal U es un conjunto de subconjuntos de U.
Formalmente, dado un conjunto universal U, con índices en un
conjunto I, es una función f: I → P(U). Su representación es:
{Ai : i ∈ I} o {Ai}i ∈ I
donde Ai = f(i), para todo i ∈ I.

Ejemplo:

Si tenemos que I = {1, 2, 3,... , n}, entonces la familia de conjuntos se podría expresar de la siguiente forma: {Ai : i = 1, 2,... , n}. Este conjunto estaría formado, por tanto, por todos los
subconjuntos del conjunto universal que tienen «asignados» tales índices.

CONJUNTO FAMILIA

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS

Llamamos conjunto complementario de un conjunto y lo representamos por al conjunto diferencia: siendo U el conjunto universal.

El conjunto complemento de A es el conjunto de los elementos x, que cumplen que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A.

Propiedades:

1. Uc = y ∅c = U.
2. A - B = A
Bc.
3. (Ac)c = A. (Propiedad involutiva).
4. A
Ac = U y A ∩ Ac = ∅. (Propiedades de complementariedad).
5. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. (
Leyes de De Morgan).
Nota: Otras notaciones para designar al conjunto complemento pueden ser: Ā o ~A. No obstante, alguna de estas notaciones puede llevar a confusión, ya que también se usan para representar otros conceptos.

DIFERENCIA SIMETRICA

El conjunto diferencia simétrica de A y B está formado por los elementos del universo que pertenecen a uno y solamente uno de ellos, es decir, que pertenecen a A , o a B , pero no a ambos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A-B y los elementos de B-A. Se denota A diferencia B.

La DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS: es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, especifican cuales elementos NO SON COMUNES formando un nuevo conjunto llamado DIFERENCIA SIMÉTRICA.

SIMBOLOGIA DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

El símbolo de la DIFERENCIA SIMÉTRICA es: D
La DIFERENCIA SIMÉTRICA del conjunto A y el conjunto B, se representa como: ADB
REALIZACION DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS EN FORMA EXTENSIVA
Sean dos conjuntos A y B.
Sea A definido asi: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido asi: B = {m, a, n, g, o}
La DIFERENCIA SIMÉTRICA posible se representa asi ADB = {j, u, d, e, m, a, n}
DIAGRAMA DE VENN DE UNA DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.

UNION DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}


la unión de conjuntos es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: de U.

Si A y B son dos conjuntos, entonces su unión es:

La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x a pertenezca a B.
Esta operación es
conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro.

donde:
es el
complemento de A.

Propiedades:

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera.
1. A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.
2. A ∪ U = U y A ∪
Ø = A.
3. A ∪ A = A (propiedad idempotente).
4. A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa).
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).
6. a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
6. b. (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la
intersección).
7. A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, y se representa por A -B o por A \ B, al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no están en B.

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A − B son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplos:

Si A = {a, b, c, d} y B = {b, d}; la diferencia de conjuntos A - B es
A − B = {a,c}.
Si A = { a, b, c, d } y B = { c, d, e, f }; entonces A - B = { a, b }
Si W = {x / x impar y x < z =" {" z =" {1,3,5}" w =" {8,10,12,13}">

Observaciones:

La notación más utilizada es A - B, si bien algunos autores también utilizan la notación A \ B.
La diferencia de conjuntos no es
conmutativa.
Los elementos de la intersección no se consideran parte de la Diferencia de Conjuntos.
Si A y B son
conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conjuntos es:

A_B=A

y


B_A=B

Si A y B son
conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conju


Diferencia Simétrica:
Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:













INTERSECCION DE CONJUNTOS

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: de U.

Si A y B son dos de ellos entonces su intersección se simboliza y se define como:

La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y que, x pertenezca a B.
Esta operación es
conmutativa, asociativa, tiene neutro y tiene inverso:

donde:
es el
complemento de A.
Por lo tanto el
conjunto potencia de nuestro universo U y la operación forman una estructura algebraica tipo grupo abeliano.

jueves, 25 de septiembre de 2008

TEORIA DE CONJUNTOS

En la vida diaria es común hacer agrupaciones, que en el lenguaje matemático se llaman conjuntos.
Un conjunto es una agrupación cualquiera de objetos con una caracterísitica específica que permite determinar con certeza si un objeto pertenece o no a la agrupación.
Los objetos que forman parte del conjunto se denominan elementos. Si un elemento forma parte de un conjunto se dice que el elemento pertenece al conjunto. Si el elemento no forma parte del conjunto, se dice que no pertenece al conjunto.
Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran todos sus elementos, y por comprensión cuando se da la característica común de sus elementos.
Los conjuntos también se pueden definir por comprensión utilizando la notación simbólica:
A = {xx E N, 4 < x < 11}
Se lee: A es un conjunto formado por todos los elementos x tal que x es un número natural mayor que 4 y menor que 11.

DIAGRAMAS DE VENN

Un Diagrama de Venn es una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características
comunes.
COMENTARIO PERSONAL:
Los conjuntos son agrupaciones de objetos que determinan si un elemento corresponde o no corresponde a cualquiera de las agrupaciones.
Se le denomina extensión a un conjunto cuando se le nombran todos sus elementos.
Los diagramas de venn son representaciones gráficas que sirven para identificar los elementos de un conjunto.