La Esperanza Matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.
Definición:
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de masa p(xi).
Sea F(x) una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=Xi). Entonces al valor esperado o esperanza matemática de F(x) está definida por:
E {F(X)} = S F(X) P(X=Xi)
COMENTARIO PERSONAL:
La Esperanza Matemática mide la frecuencia o calcula el promedio de los resultados de dichos experimentos.
La Esperanza Matemática también permite comparar dos o más alternativas.
lunes, 29 de septiembre de 2008
ARBOL DE PROBABILIDAD
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico
PROBABILIDAD
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
TRIANGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras líneas están representadas en la tabla adjunta.
En países no occidentales como China o India, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra.
En países no occidentales como China o India, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.
El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra.
TEORIA DE CONTEO
PERMUTACIONES:
Dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:
Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.
Definición alternativa:
La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.
Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.
Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.
En combinatoria:
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre como deben ser las combinaciones y determinar cuantas combinaciones existen que cumplan dicha regla.
Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas diferentes que pueden construirse a partir de dicho conjunto.
COMBINACIONES:
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
Dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:
Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.
Definición alternativa:
La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.
Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.
Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.
En combinatoria:
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre como deben ser las combinaciones y determinar cuantas combinaciones existen que cumplan dicha regla.
Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas diferentes que pueden construirse a partir de dicho conjunto.
COMBINACIONES:
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
domingo, 28 de septiembre de 2008
PARTICION DE CONJUNTOS
En matemáticas, la partición de un conjunto es la división en subconjuntos que no se superponen.
Un conjunto A de enteros positivos se le llama un conjunto Bh módulo m, si todas
las sumas de h elementos de A, no necesariamente distintos, son incongruentes mod m.
Demostramos que cuando m es de la forma qn − 1, para q potencia de un primo, los
logaritmos discretos de las raíces de polinomios de Artin-Schreier en el campo finito con
qn elementos forman un conjunto Bh módulo m, siendo h un divisor de n. Este resultado
generaliza un teorema clásico en construcción de conjuntos Bh. Además, demostramos que
hay particiones de Zqn en conjuntos Bh, donde h recorre los divisores de n.
Un conjunto A de enteros positivos se le llama un conjunto Bh módulo m, si todas
las sumas de h elementos de A, no necesariamente distintos, son incongruentes mod m.
Demostramos que cuando m es de la forma qn − 1, para q potencia de un primo, los
logaritmos discretos de las raíces de polinomios de Artin-Schreier en el campo finito con
qn elementos forman un conjunto Bh módulo m, siendo h un divisor de n. Este resultado
generaliza un teorema clásico en construcción de conjuntos Bh. Además, demostramos que
hay particiones de Zqn en conjuntos Bh, donde h recorre los divisores de n.
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